Question

1．已知曲線C₁：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若曲線C₁是一個(gè)圓，且點(diǎn)P（1，1）在圓C₁外，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，曲線C₁關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的曲線為C₂．設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)P點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線L₁，L₂，它們分別與曲線C₁和曲線C₂相交，且直線L₁被曲線C₁截得的弦長(zhǎng)與直線L₂被曲線C₂截得的弦長(zhǎng)總相等．
（1）求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線L₁被曲線C₁截得的弦為MN，直線L₂被曲線C₂截得的弦為RS，設(shè)△PMR與△PNS的面積分別為S₁與S₂，試探究S₁•S₂是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意列關(guān)于m的不等式組，求解不等式組得答案；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，求出圓C₁的方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)一步求出關(guān)于x+y=0對(duì)稱的圓C₂方程，得到C₂（-2，-1）．
（i）要存在無(wú)窮多對(duì)直線L₁與L₂，必有無(wú)窮多對(duì)的斜率都存在，設(shè)L₁的斜率為k，P（m，n），則L₂的斜率為$-\frac{1}{k}$，求出L₁，L₂的方程，由兩圓半徑都等于1，因此，若相交弦長(zhǎng)相等，則兩圓心到對(duì)應(yīng)直線的距離必相等，列式可得（m-n-2）k-（m+n）=0或（m+n）k+（m-n+4）=0對(duì)無(wú)窮多個(gè)k值成立．由此求得m值，得到
點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（ii）設(shè)C₁到MN的距離為d，則PM•PN=$（\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-uogiltb^{2}}-\sqrt{1-fec8jl3^{2}}）（\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-zztp8u2^{2}}-\sqrt{1-j2s8ktb^{2}}）=P{{C}_{1}}^{2}-1=8$，同理PR•PS，代入${S_1}•{S_2}=\frac{1}{4}PM•PR•PN•PS=16$
得S₁•S₂為定值16．

解答 解：（1）依題意$\left\{\begin{array}{l}2-2-4+m＞0\\ 4+16-4m＞0\end{array}\right.$，解得4＜m＜5；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，C₁：（x-1）²+（y-2）²=1是以C₁（1，2）為圓心，半徑為1的圓，
∴它關(guān)于x+y=0對(duì)稱的圓C₂方程為（x+2）²+（y+1）²=1，C₂（-2，-1）．
（i）∵要存在無(wú)窮多對(duì)直線L₁與L₂，∴必有無(wú)窮多對(duì)的斜率都存在，
設(shè)L₁的斜率為k，P（m，n），則L₂的斜率為$-\frac{1}{k}$，
∴L₁：kx-y-mk+n=0，L₂：x+ky-m-kn=0，
由于兩圓半徑都等于1，因此，若相交弦長(zhǎng)相等，則兩圓心到對(duì)應(yīng)直線的距離必相等，
∴$\frac{|k-2-mk+n|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{|-2-k-m-kn|}{{\sqrt{{k^2}-1}}}?|（m-1）k-（n-2）|=|k（n+1）+（m+2）|$
?（m-1）k-（n-2）=k（n+1）+（m+2）或（m-1）k-（n-2）=-k（n+1）-（m+2），
即（m-n-2）k-（m+n）=0或（m+n）k+（m-n+4）=0對(duì)無(wú)窮多個(gè)k值成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}m-n-2=0\\ m=-n\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m-n+4=0\\ m=-n\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ m=2\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）或（-2，2）；
（ii）設(shè)C₁到MN的距離為d，則PM•PN=$（\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-ke32jmk^{2}}-\sqrt{1-ave33vh^{2}}）（\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-lvex82y^{2}}-\sqrt{1-gltrybu^{2}}）=P{{C}_{1}}^{2}-1=8$，
同理，PR•PS=$（\sqrt{P{{C}_{2}}^{2}-ej73z3i^{2}}-\sqrt{1-xngdwz3^{2}}）（\sqrt{P{{C}_{2}}^{2}-77numk2^{2}}-\sqrt{1-kzy3fog^{2}}）=P{{C}_{2}}^{2}-1=8$，
又${S_1}•{S_2}=\frac{1}{4}PM•PR•PN•PS=16$，
∴S₁•S₂為定值16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了計(jì)算能力，是中檔題．