【題目】在直角坐標xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.

（1）求橢圓的直角坐標方程；

（2）已知過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）（2）6

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式將極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化；

（2）設，，，以及的方程，將的方程與橢圓聯(lián)立，分析可得，借助根與系數(shù)的關(guān)系可以將四邊形面積用表示出來，利用換元法及基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

（1）曲線的極坐標方程：，

即，

根據(jù)

轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：．

（2）設，，，，，

則由，可得，

即，

△，

則

又因為，

所以四邊形是平行四邊形，，

設平面四邊形的面積為，

則，

設，則，

所以，

因為在上是增函數(shù)，

所以，當時等號成立，

故，

，當時等號成立，

所以，，

所以四邊形面積的最大值為6．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體中，平面⊥底面，四邊形是正方形，，是的中點，且，

（1）證明：//平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，，是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計，為東西方向），Q為景區(qū)內(nèi)一景點，A為道路上一游客休息區(qū)，已知，（百米），Q到直線，的距離分別為3（百米），（百米），現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延伸至道路于點B，并在B處修建一游客休息區(qū).

（1）求有軌觀光直路的長；

（2）已知在景點Q的正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時長為9分鐘，表演時，噴泉噴灑區(qū)域以P為圓心，r為半徑變化，且t分鐘時，（百米）（，）.當噴泉表演開始時，一觀光車S（大小忽略不計）正從休息區(qū)B沿（1）中的軌道以（百米/分鐘）的速度開往休息區(qū)A，問：觀光車在行駛途中是否會被噴泉噴灑到，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點到其焦點下的距離為10.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設過焦點F的的直線與拋物線C交于兩點，且拋物線在兩點處的切線分別交x軸于兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.

購買金額（元）

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元

少于60元

合計

男

40

女

18

合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)（元）的分布列并求其數(shù)學期望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.

附表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某部門在十一月份對城市居民進行了主題為空氣質(zhì)量問卷調(diào)查，根據(jù)每份調(diào)查表得到每個調(diào)查對象的空氣質(zhì)量評分值（百分制）．現(xiàn)從收到的調(diào)查表中隨機抽取20份進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布表：

空氣質(zhì)量評分值

頻數(shù)

頻率

[50，60]

2

　 　

（60.70]

6

　 　

（70，80]

　 　

　 　

（80，90]

3

　 　

（90，100]

2

　 　

（1）請完成題目中的頻率分布表，并補全題目中的頻率分布直方圖；

（2）該部門將邀請被問卷調(diào)查的部分居民參加如何提高空氣質(zhì)量的座談會．在題中抽樣統(tǒng)計的這20人中，已知空氣質(zhì)量評分值在區(qū)間（80，100]的5人中有2人被邀請參加座談，求其中幸福指數(shù)評分值在區(qū)間（80，90]的僅有1人被邀請的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.

購買金額（元）

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元

少于60元

合計

男

40

女

18

合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)（元）的分布列并求其數(shù)學期望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.

附表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某手機商家為了更好地制定手機銷售策略，隨機對顧客進行了一次更換手機時間間隔的調(diào)查.從更換手機的時間間隔不少于3個月且不超過24個月的顧客中選取350名作為調(diào)查對象，其中男性顧客和女性顧客的比為，商家認為一年以內(nèi)（含一年）更換手機為頻繁更換手機，否則視為未頻繁更換手機.現(xiàn)按照性別采用分層抽樣的方法從中抽取105人，并按性別分為兩組，得到如下表所示的頻數(shù)分布表：

事件間隔（月）

男性

x

8

9

18

12

8

4

女性

y

2

5

13

11

7

2

（1）計算表格中x，y的值；

（2）若以頻率作為概率，從已抽取的105且更換手機時間間隔為3至6個月（含3個月和6個月）的顧客中，隨機抽取2人，求這2人均為男性的概率；

（3）請根據(jù)頻率分布表填寫列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為“頻繁更換手機與性別有關(guān)”.

頻繁更換手機

未頻繁更換手機

合計

男性顧客

女性顧客

合計

附表及公式：

P（）

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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