Question

8．已知橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其左焦點、上頂點和左頂點分別為F，A，B，坐標原點為O，且線段FO，OA，AB的長度成等差數列．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若過點F的一條直線l交橢圓于點M，N，交y軸于點P，使得線段MN被點F，P三等分，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意有$c+\sqrt{{a^2}+{b^2}}=2b$，將其變形可得b=2c，結合橢圓的幾何性質以及離心率公式可得$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}$，計算可得答案；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+c），當k＞0時，表示出k和x_M、y_M，將直線l的方程和橢圓方程聯立，解可得x_M、y_M的值，由斜率公式計算可得k的值，同理分析k＜0時可得k的值，綜合可得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意有$c+\sqrt{{a^2}+{b^2}}=2b$，
把上式移項平方并把a²=b²+c²，代入得b=2c，
又由a²=b²+c²；
所以橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+c），
先研究k＞0的情況，要使|MF|=|FP|，
則x_M=-2c，${y_M}=-b•\sqrt{1-\frac{{{x_M}^2}}{a^2}}=-\frac{{\sqrt{5}}}$，
因此$k=\frac{{0-（-\frac{{\sqrt{5}}}）}}{-c-（-2c）}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
將直線l的方程和橢圓方程聯立可得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（x+c）\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_M}=-2c\\{x_N}=c\end{array}\right.$
由于點N的橫坐標為c，因此|PN|也等于|PF|，
同理，當k＜0時，由對稱性可知k=$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；
直線l的斜率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，涉及直線與橢圓的位置關系，關鍵是依據題意，求出橢圓的標準方程．