Question

8．已知點P是拋物線C₁：y²=4x上的動點，過P作圓（x-3）²+y²=2的兩條切線，則兩條切線的夾角的最大值為60°．

Answer 1

分析 要使兩切線夾角最大，需拋物線上的點P到圓心的距離最小，求出P到圓心的距離最小值，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求出兩切線夾角夾角的一半，進而得到兩切線夾角的最大值．

解答 解；要使兩切線夾角最大，需拋物線上的點P到圓心的距離最小，點P到圓心的距離為；
d=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{3}+4x}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，
即點P到圓心的距離最小為2$\sqrt{2}$，圓A：（x-3）²+y²=2的半徑r=$\sqrt{2}$，
設(shè)兩切線夾角為2α，則sinα=$\frac{1}{2}$，∴α=30°，∴2α=60° 故兩切線夾角的最大值為60°，
故答案為：60°．

點評 本題考查圓的切線性質(zhì)，從圓外一點作圓的切線，此點到圓心的距離越小，兩切線夾角就越大．