Question

3．橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為$\sqrt{2}-1$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意建立關(guān)于a、c的方程組，解出a=$\sqrt{2}$，c=1，從而得到b²=a²-c²=1，可得橢圓的方程．

解答 解：∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
由此可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
故答案為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評 本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的方程，著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于基礎(chǔ)題．