Question

16．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[1，e]的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）由于x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點，可得f′（3）=0，解出并驗證即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出h（a）的解析式即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-a（x＞0）．
∵x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（3）=$\frac{a}{3}$+6-a=0，解得a=9，
∴f′（x）=$\frac{（2x-3）（x-3）}{x}$，
∴0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞3時，f′（x）＞0，$\frac{3}{2}$＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴x=3是函數(shù)f（x）的一個極小值點，
（2）g（x）=alnx+x²-ax-2x，x∈[1，e]，
g′（x）=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
①$\frac{a}{2}$≤1即a≤2時，g（x）在[1，e]遞增，
g（x）_min=g（1）=-a-1；
②1＜$\frac{a}{2}$＜2即2＜a＜2e時，
g（x）在[1，$\frac{a}{2}$）遞減，在（$\frac{a}{2}$，e]遞增，
故g（x）_min=g（$\frac{a}{2}$）=aln$\frac{a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a；
③$\frac{a}{2}$≥e即a≥2e時，g（x）在[1，e]遞減，
故g（x）min=g（e）=a（1-e）+e（e-2）；
綜上h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-a-1，a≤2}\\{aln\frac{a}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a，2＜a＜2e}\\{a（1-e）+e（e-2），a≥2e}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．