Question

5．關(guān)于函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，有如下問(wèn)題：
①$x=\frac{π}{12}$是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸；
②$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；
③將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可得到奇函數(shù)的圖象；
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)依次對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
對(duì)于①：當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值2，∴x=$\frac{π}{12}$是其中一條對(duì)稱軸．故①對(duì)．
對(duì)于②：f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
-f（$\frac{π}{3}$-x）=-2sin（-2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
∴$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；故②對(duì)．
對(duì)于③將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可得2sin[2（x$-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）不是奇函數(shù)，故③不對(duì)
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），當(dāng)x₁=$\frac{π}{6}$，${x}_{2}=-\frac{5π}{12}$時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|=4，存在x₁，x₂∈R使得|f（x₁）-f（x₂）|≥4，故④對(duì)．
∴真命題的個(gè)數(shù)是3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．