Question

19．已知R上的可導函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（1，2）
• C． （-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 結合已知中可導函數(shù)f（x）的圖象，分析不同區(qū)間上（x²-2x-3）和f′（x）的符號，進而可得答案．

解答 解：由已知中函數(shù)f（x）的圖象可得：
當x＜-1時，函數(shù)為增函數(shù)，此時f′（x）＞0，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
當-1＜x＜1時，函數(shù)為減函數(shù)，此時f′（x）＜0，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
當x＞1時，函數(shù)為增函數(shù)，此時f′（x）＞0；
當1＜x＜3時，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＜0，
當x＞3時，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
綜上可得：不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞），
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，數(shù)形結合思想，分類討論思想，難度中檔．