17.在△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿足$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$,延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D,若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$,則λ=$\frac{1}{3}$.

分析 用特殊值法,不妨設(shè)△ABC是等腰直角三角形,腰長(zhǎng)AB=AC=1,建立直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法和向量共線,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),即可得出λ的值.

解答 解:根據(jù)題意,不妨設(shè)△ABC是等腰直角三角形,
且腰長(zhǎng)AB=AC=1,
建立直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則A(0,0),B(1,0),C(0,1),
∴$\overrightarrow{AB}$=(1,0),$\overrightarrow{AC}$=(0,1);
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$=($\frac{2}{5}$,$\frac{1}{5}$),
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=(-$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{5}$);
設(shè)點(diǎn)D(0,y),
則$\overrightarrow{BD}$=(-1,y),
由$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{BD}$共線,得y=$\frac{1}{3}$,
∴$\overrightarrow{AD}$=(0,$\frac{1}{3}$),$\overrightarrow{AC}$=(0,1),
當(dāng)$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$時(shí),
λ=$\frac{1}{3}$.
故答案為:$\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的基本定理及其意義,也考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力.

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