Question

7．如圖，在平面四邊形ABCD中，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=32$．
（1）若$\overrightarrow{BA}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為30°，求△ABC的面積S_△ABC；
（2）若$|{\overrightarrow{AC}}|=4，O$為AC的中點，G為△ABC的重心（三條中線的交點），且$\overrightarrow{OG}$與$\overrightarrow{OD}$互為相反向量，求$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得BA•BC的值，可得△ABC的面積S_△ABC的值．
（2）以O為原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設D（x，y），由條件求得點B的坐標，從而求得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=32$，∴BA•BCcos30°=32，
∴$BA•BC=\frac{32}{{cos{{30}°}}}=\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BA•BCsin{30°}=\frac{1}{2}×\frac{{64\sqrt{3}}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．
（2）以O為原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的
平面直角坐標系．
則A（-2，0），C（2，0），設D（x，y），
則$\overrightarrow{OD}=（{x，y}）$，因為$\overrightarrow{OG}$與$\overrightarrow{OD}$互為相反向量，所以$\overrightarrow{OG}=（{-x，-y}）$．因為G為△ABC的重心，所以$\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OG}=（{-3x，-3y}）$，
即B（-3x，-3y），∴$\overrightarrow{BA}=（{3x-2，3y}），\overrightarrow{BC}=（{3x+2，3y}）$，
因此$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=9{x^2}-4+9{y^2}$=32，即x²+y²=4．
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}=（{x+2，y}）•（{x-2，y}）={x^2}+{y^2}-4=0$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，用坐標法求兩個向量的數(shù)量積，屬于中檔題．