【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)令,求函數(shù)的極值;
(3)若,正實(shí)數(shù)滿足,證明:.
【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值;當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值,無極小值(3)詳見解析
【解析】
試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,所以先求導(dǎo)數(shù)得,即,又,再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程(2)先求導(dǎo)數(shù),再分類討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上符號變化規(guī)律,確定極值取法:當(dāng)時(shí),,函數(shù)無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),一個(gè)零點(diǎn),導(dǎo)函數(shù)在其左右符號變化,先增后減,所以有極大值,無極小值
(3)先化簡為,轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)關(guān)系式:,研究函數(shù),其中,得,因此,解不等式得
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,則,所以切點(diǎn)為,
又,則切線斜率,
故切線方程為,即................3分
(2),
則,......................4分
當(dāng)時(shí),∵,∴.
∴在上是遞增函數(shù),函數(shù)無極值點(diǎn)..................5分
當(dāng)時(shí),,令得,
∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
因此在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),............................7分
∴時(shí),有極大值,
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值;
當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值,無極小值............................... 8分
(3)證明:當(dāng)時(shí),,
由,即,
從而,
令,則由得:,
可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴,∴,
∵,∴.....................12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機(jī)取出兩個(gè)球,求取出的球的編號之和不大于4的概率.
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號為n,求n<m+2的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上不單調(diào)時(shí);
①記在上的最大值、最小值分別為,求;
②設(shè),若,對恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的二次函數(shù).
(1)設(shè)集合和,分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率;
(2)設(shè)點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),記事件“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),其中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1”為事件,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn),且
(1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率為,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求的方程;
(II)設(shè)過點(diǎn)的動直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中、, 為自然對數(shù)的底數(shù), 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程.
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí),方程表示的直線斜率不存在?求出這時(shí)的直線方程;
(3)已知方程表示的直線在軸上的截距為-3,求實(shí)數(shù)的值;
(4)若方程表示的直線的傾斜角是45°,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若的一個(gè)極值點(diǎn)到直線的距離為1,求的值;
(2)求方程的根的個(gè)數(shù)
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