分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)f′(1)=0,求出a的值,檢驗即可;
(2)結合題意得到$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$,x0>0.設$g(x)=\frac{{2{e^x}}}{x}$,x>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
解答 解:(1)x>0時,f'(x)=2ex-2x+2a,
依題意有f'(1)=2(e-1+a)=0,得a=1-e,
經(jīng)驗證,0<x<1時,f'(x)=2(ex-x+1-e)<0,
x>1時,f'(x)>0,滿足極值要求.
(2)依題意,設存在f(x)=2ex-x2+2ax(x>0)圖象上一點(x0,y0),
使得(-x0,-y0)在f(x)=x2+3ax(x<0)的圖象上,
則有$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0},\;\;\\-{y_0}={(-{x_0})^2}+3a(-{x_0}),\;\;\end{array}\right.$
得$2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0}=-x_0^2+3a{x_0}$,
化簡得:$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$,x0>0.
設$g(x)=\frac{{2{e^x}}}{x}$,x>0,則$g'(x)=\frac{{2{e^x}}}{x^2}(x-1)$,
當0<x<1時,g'(x)<0,當x>1時,g'(x)>0,
則g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù),
g(x)min=g(1)=2e,
又x→0或x→+∞時,g(x)→+∞,∴g(x)∈[2e,+∞).
所以,a≥2e時,函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點關于原點對稱.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 8$\sqrt{3}$ | B. | $\frac{80}{3}$ | C. | 16$\sqrt{3}$ | D. | 32 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0,$\frac{1}{2}$,0,0,$\frac{1}{2}$ | B. | 0.1,0.2,0.3,0.4 | ||
C. | p,1-p(0≤p≤1) | D. | $\frac{1}{1×2}$,$\frac{1}{2×3}$,…,$\frac{1}{7×8}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | p∧q | B. | p∧(?q) | C. | (?p)∧(?q) | D. | (?p)∧q |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 橢圓 | B. | 雙曲線 | C. | 拋物線 | D. | 圓 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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