Question

20．點P是拋物線y²=4x上一動點，則點P到點（0，-1）的距離與拋物線準線的距離之和最小時，P的坐標是（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點坐標，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出直線AF的方程為x-y-1=0，與拋物線y²=4x聯(lián)立，即可得出結(jié)論．

解答 解：依題設(shè)P在拋物線準線的投影為P'，拋物線的焦點為F，A（0，-1）．
則F（1，0），
依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PP'|=|PF|，
則點P到點A（0，-1）的距離與P到該拋物線準線的距離之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=$\sqrt{2}$．
直線AF的方程為x-y-1=0，與拋物線y²=4x聯(lián)立可得y²-4y-4=0，
y=2±2$\sqrt{2}$，結(jié)合題意，可得P（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．
故答案為（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查拋物線的定義，考查求距離和，解題的關(guān)鍵是點P到點（0，-1）的距離與P到該拋物線準線的距離之和轉(zhuǎn)化為點P到點（0，-1）的距離與P到焦點F的距離之和．