Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^ax-ax+e²-4，x∈[-2，2]（a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值；
（3）如果對于一切x₁、x₂、x₃∈（-2，2），總存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求兩次導(dǎo)數(shù)，得到f′（x）在（-2，2）上單調(diào)遞增，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由（1）可知，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，做差比較，即可得到f（x）的最大值，
（3）f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形的充要條件是2f（x）_min＞f（x）_max＞0，分別求出，構(gòu)造函數(shù)即可得到參數(shù)的取值范圍．

解答 解（1）：由f（x）=e^ax-ax+e²-4，得f′（x）=ae^ax-a．
∴f″（x）=a²e^ax＞0，
∴f′（x）在（-2，2）上單調(diào)遞增，
∵f′（0）=0，
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＜f′（0）=0，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）的減區(qū)間為[-2，0），增區(qū)間為（0，2]；
（2）由（1）可知，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（2）-f（-2）=e^2a-2a+e²-4-（e^-2a+2a+e²-4）=e^2a-e^-2a-4a，
設(shè)g（a）=e^2a-e^-2a-4a，
則g′（a）=2（e^2a-e^-2a-2）≥2（2$\sqrt{{e}^{2a}•{e}^{-2a}}$-2）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=0時取等號，
∴g（a）在R上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)a＞0時，g（a）＞g（0）=0，則f（2）＞f（-2），
當(dāng)a＜0時，g（a）＜g（0）=0，則f（2）＜f（-2），
綜上f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2a}-2a+{e}^{2}-4，a＞0}\\{{e}^{-2a}+2a+{e}^{2}-4，a＜0}\end{array}\right.$
（3）f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形的充要條件是2f（x）_min＞f（x）_max＞0，
由（1）可知，f（x）在[-2，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）在（-2，2）上存在唯一的極小值，即最小值，
∴當(dāng)x=0時，f（x）_min=f（0）=1+e²-4=e²-3，
∴f（x）_min＞0，
當(dāng)x∈[-2，2]時，[f（x）]_max=max{f（-2），f（2）}，
∴f（x）_max＞0，
從而當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）＞0，
∴充要條件轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{2f（0）≥f（2）}\\{2f（0）≥f（-2）}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2a}-2a≤{e}^{2}-2}\\{{e}^{-2a}+2a≤{e}^{2}-2}\end{array}\right.$
設(shè)h（t）=e^x-t-e²+2，t=2a，
∴h′（t）=e^t-1，
當(dāng)t＜0時，h′（t）＜0，
當(dāng)t＞0時，h′（t）＞0，
∴h（t）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（2）=0，h（-2）=e^-2+4-e²＜0，
∴當(dāng)a∈[-1，0）∪（0，1]時，
h（a）≤0，h（-a）≤0，滿足題意，
當(dāng)a＞1時，h（2a）＞h（2）=0，即e^2a-2a＞e²-2，不合題意，
當(dāng)a＜-1時，h（-2a）＞0，即e^-2a+2a＞e²-2，不合題意，
綜上所述a的取值范圍為[-1，0）∪（0，1]

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，考查存在性問題的研究，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵，屬于難題．