Question

6．設(shè)橢圓E的中心為原點，它在x軸上的一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，且此焦點和長軸的較近端點的距離等于$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知雙曲線H的左、右焦點F₁、F₂與橢圓E的兩個焦點相同，E與H在第一象限交于點P且|PF₁||PF₂|=6，求雙曲線H的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知△AOF₁為等腰直角三角形，a=$\sqrt{2}$c，且滿足a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，即可求得a和b的值，求得橢圓E的方程；
（2）由（1）可知c=$\sqrt{5}$，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義（|PF₂|-|PF₂|）²=（|PF₂|+|PF₂|）²-4|PF₁||PF₂|=16，丨|PF₂|-|PF₂|丨=2a=4，b²=c²-a²=1，即可求得雙曲線H的方程．

解答 解：（1）由題意可知：設(shè)橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由AF₁⊥BF₁，則△AOF₁為等腰直角三角形，
即b=c，由a²=b²+c²=2c²，則a=$\sqrt{2}$c，①
由焦點和長軸的較近端點的距離等于$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$．即a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，②
解得：a=$\sqrt{10}$，c=$\sqrt{5}$，
則b=$\sqrt{5}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；

（2）由（1）可知雙曲線的焦點坐標(biāo)F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
設(shè)雙曲線的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
由題意可知：|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{10}$，|PF₁||PF₂|=6，
則（|PF₂|-|PF₂|）²=（|PF₂|+|PF₂|）²-4|PF₁||PF₂|=16，
∴丨|PF₂|-|PF₂|丨=2a=4，則a=2，
由b²=c²-a²=1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$；
雙曲線H的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，屬于中檔題．