Question

19．下列命題
①命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0”；
④設(shè)有四個函數(shù)y=x^-1，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函數(shù)的函數(shù)有3個．
真命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 對于①，根據(jù)含有量詞的命題的否定即可判斷；對于②，先利用二倍角公式將f（x）化簡，然后根據(jù)T=$\frac{2π}{|ω|}$求出a的值，再判斷充分必要性；對于③，根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及兩向量夾角的取值范圍進(jìn)行判斷；對于④，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)分別判斷四個函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性即可．

解答 解：對于①：全稱命題的否定是存在性命題（也叫特稱命題），所以命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正確；
對于②：由二倍角公式可知，f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，由T=$\frac{2π}{|2a|}=π$，得a=±1，因為“a=±1“是“a=1”的必要不充分條件，故②正確；
對于③：記$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ．若平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ$＜0；若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，則cosθ＜0，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ是鈍角或平角（即180°）．
所以“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0”是“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的必要不充分條件，故③不正確；
對于④：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，y=x^-1在（0，+∞）上是減函數(shù)，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函數(shù)，故④正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評 本題主要考查了命題的真假判斷，同時也考查了含有量詞的命題的否定，三角函數(shù)，向量以及冪函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，對學(xué)生要求較高，屬于中檔題．