Question

12．甲，乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分：指標(biāo)大于或等于95為正品，小于95為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩臺(tái)車床生產(chǎn)的零件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指標(biāo)	[85，90）	[90，95）	[95，100）	[100，105）	[105，110）
機(jī)床甲	8	12	40	32	8
機(jī)床乙	7	18	40	29	6

（1）試分別估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為正品的概率；
（2）甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利160元，次品則虧損20元；乙機(jī)床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利200元，次品則虧損40元，在（1）的前提下，現(xiàn)需生產(chǎn)這種零件2件，以獲得利潤的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該如何安排生產(chǎn)最佳？

Answer 1

分析 （1）先分別求出甲機(jī)床為正品的頻率、乙機(jī)床為正品的頻率，由此能估計(jì)甲、乙兩機(jī)床為正品的概率．
（2）若用甲機(jī)床生產(chǎn)這2件零件，設(shè)可能獲得的利潤X₁為320元、140元、-40元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出獲得的利潤的期望；用乙機(jī)床生產(chǎn)這2件零件，設(shè)可能獲得的利潤為X₂為400元、160元、-80元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出獲得的利潤的期望，用甲、乙機(jī)床各生產(chǎn)1件零件，設(shè)可能獲得的利潤X₃為360元、180元、120元、-60元，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出獲得的利潤的期望，由此能求出安排乙機(jī)床生產(chǎn)最佳．

解答 解：（1）因?yàn)榧讬C(jī)床為正品的頻率為$\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$，
乙機(jī)床為正品的頻率約為$\frac{40+29+6}{100}=\frac{3}{4}$，
所以估計(jì)甲、乙兩機(jī)床為正品的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}$；
（2）若用甲機(jī)床生產(chǎn)這2件零件，設(shè)可能獲得的利潤X₁為320元、140元、-40元，
它們的概率分別為$P（{X_1}=320）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$，
$P（{X_1}=140）=2×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{8}{25}$，$P（{X_1}=-40）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，
所以獲得的利潤的期望$E（{X_1}）=320×\frac{16}{25}+140×\frac{8}{25}+（-40）×\frac{1}{25}=248$，
若用乙機(jī)床生產(chǎn)這2件零件，設(shè)可能獲得的利潤為X₂為400元、160元、-80元，
它們的概率分別為$P（{X_2}=400）=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（{X_2}=160）=2×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{6}{16}$，$P（{X_2}=-80）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，
讓你以獲得的利潤的期望$E（{X_2}）=400×\frac{9}{16}+160×\frac{6}{16}+（-80）×\frac{1}{16}=280$；
若用甲、乙機(jī)床各生產(chǎn)1件零件，設(shè)可能獲得的利潤X₃為360元、180元、120元、-60元，
它們的概率分別為：
$P（{X_3}=360）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{12}{20}$，$P（{X_3}=180）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$，
$P（{X_3}=120）=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{4}{20}$，$P（{X_3}=-60）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$
所以獲得的利潤的期望$E（{X_3}）=360×\frac{12}{20}+180×\frac{3}{20}+120×\frac{4}{20}+（-60）×\frac{1}{20}=264$，
∵E（X₂）＞E（X₃）＞E（X₁），
所以安排乙機(jī)床生產(chǎn)最佳．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型及應(yīng)用，考查概率的計(jì)算，考查計(jì)數(shù)原理，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是中檔題．