【題目】如圖,平面平面,,四邊形為平行四邊形,,為線段的中點(diǎn),點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見證明;(2)見證明; (3)
【解析】
(Ⅰ)連接,交于點(diǎn),利用平幾知識(shí)得線線平行,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直進(jìn)行論證線線垂直,再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得結(jié)果,(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)面面垂直得兩平面法向量垂直,進(jìn)而得P點(diǎn)坐標(biāo),最后利用空間向量數(shù)量積求線面角.
(Ⅰ)證明:連接,交于點(diǎn),連接
在平行四邊形中,因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,即,
所以,
又因?yàn)?/span>平面,平面,所以直線平面.
(Ⅱ)證明:因?yàn)?/span>,為線段的中點(diǎn),所以,
又因?yàn)槠矫?/span>平面于,平面所以平面
在平行四邊形中,因?yàn)?/span>,所以
以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則
因?yàn)?/span>平面所以設(shè),
則
所以
所以,又因?yàn)?/span>
所以平面,又因?yàn)?/span>平面
所以平面平面.
(Ⅲ)解:因?yàn)?/span>
設(shè)為平面的一個(gè)法向量
則不妨設(shè)
因?yàn)?/span>
設(shè)為平面的一個(gè)法向量
則不妨設(shè)
因?yàn)槠矫?/span>平面,所以,所以
因?yàn)?/span>
所以
所以,
所以
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn):求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直角梯形中,,,,,,兩點(diǎn)分別在線段,上運(yùn)動(dòng),且.將三角形沿折起,使點(diǎn)到達(dá)的位置,且平面平面.
(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系并證明;
(2)證明:的長(zhǎng)度最短時(shí),,分別為和的中點(diǎn);
(3)當(dāng)的長(zhǎng)度最短時(shí),求平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,,,,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)證明:平面∥平面;
(2)若,求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求;
(2)設(shè),若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱柱中,,,,點(diǎn)在上.
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)為何值時(shí),平面,并求出此時(shí)直線與平面之間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求證:平面AEC⊥平面ABE;
(2)點(diǎn)F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知橢圓:()的離心率為,右準(zhǔn)線方程是直線l:,點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為AB(點(diǎn)A在x軸上方,點(diǎn)B在x軸下方).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)①求證:分別以為直徑的兩圓都恒過定點(diǎn)C;
②若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,_________,且.現(xiàn)從:①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在以上問題中,并判斷這樣的是否存在,若存在,求的面積_________;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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