Question

11．定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=4（|x-1|-1），且對(duì)任意實(shí)數(shù) x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N^*，n≥2），都有f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1），若方程f（x）-log _a x=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 作出y=f（x）和y=log_ax的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式組，解出a即可．

解答 解：作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程f（x）-log _a x=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，
∴y=f（x）與y=log_ax的函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a＞1時(shí)，顯然兩圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若兩圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＞-2}\\{lo{g}_{a}10＜-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．