Question

7．如圖，圓O與離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M引兩條互相垂直的兩直線l₁、l₂與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
（�。┤鬚為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d₁、d₂，求$d_1^2+d_2^2$的最大值；
（ⅱ）若$3\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率以及橢圓的短軸端點，轉化求解橢圓的方程即可．
（Ⅱ）（ⅰ）設P（x₀，y₀），通過l₁⊥l₂，結合$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，推出-1≤y₀≤1，利用二次函數(shù)求解$d_1^2+d_2^2$取得最大值，以及此時點P的坐標；
（ⅱ）設l₁的方程為y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得A，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得C，同理可得B，D，求出向量利用$3\overrightarrow{MA•}\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$求出直線的斜率k，端點直線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，b=1，{c^2}+{b^2}={a^2}$解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$…（2分）
橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（3分）
（Ⅱ）（�。┰OP（x₀，y₀）因為l₁⊥l₂，則$d_1^2+d_2^2=P{M^2}=x_0^2+{（{y_0}+1）^2}$因為$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$
所以$d_1^2+d_2^2=4-4y_0^2+{（{y_0}+1）^2}=-3{（{y_0}+\frac{1}{3}）^2}+\frac{16}{3}$…（5分）
因為-1≤y₀≤1
所以當${y_0}=-\frac{1}{3}$時$d_1^2+d_2^2$取得最大值為$\frac{16}{3}$，此時點$P（±\frac{{4\sqrt{2}}}{3}，-\frac{1}{3}）$…（6分）
（ⅱ）設l₁的方程為y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得$A（-\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{{1-{k^2}}}{{1+{k^2}}}）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得$C（-\frac{8k}{{4{k^2}+1}}，\frac{{1-4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}）$…（8分）
同理可得$B（\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}-1}}{{{k^2}+1}}）$，$D（\frac{8k}{{{k^2}+4}}，\frac{{{k^2}-4}}{{{k^2}+4}}）$…（10分）
所以$\overrightarrow{MA}=（-\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{{-2{k^2}}}{{1+{k^2}}}）$，$\overrightarrow{MC}（-\frac{8k}{{4{k^2}+1}}，\frac{{-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}）$，$\overrightarrow{MB}=（\frac{2k}{{{k^2}+1}}，\frac{-2}{{{k^2}+1}}）$，$\overrightarrow{MD}=（\frac{8k}{{{k^2}+4}}，\frac{-8}{{{k^2}+4}}）$
由$3\overrightarrow{MA•}\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$得$\frac{{3{k^2}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{4}{{{k^2}+4}}$解得$k=±\sqrt{2}$…（13分）
所以l₁的方程為$y=\sqrt{2}x+1$，l₂的方程為$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$
或l₁的方程為$y=-\sqrt{2}x+1$，l₂的方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$…（14分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，向量的數(shù)量積的運算，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．