Question

18．某市為了解各校（同學）課程的教學效果，組織全市各學校高二年級全體學生參加了國學知識水平測試，測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個等級，隨機調閱了甲、乙兩所學校各60名學生的成績，得到如圖所示分布圖：

（Ⅰ）試確定圖中實數a與b的值；
（Ⅱ）若將等級A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分轉換成分數，試分別估計兩校學生國學成績的均值；
（Ⅲ）從兩校獲得A等級的同學中按比例抽取5人參加集訓，集訓后由于成績相當，決定從中隨機選2人代表本市參加省級比賽，求兩人來自同一學校的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由甲校樣本頻數分布條形圖能求出a，由乙校樣本頻率分布條形圖能求出b．
（Ⅱ）由樣本數據能求出甲校的平均值和乙校的平均值．
（Ⅲ）由樣本數據可知集訓的5人中甲校抽2人，分別記作E，F，乙校抽3人，分別記作M，N，Q，從5人中任選2人，利用列舉法能求出兩人來自同一學校的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個等級，
隨機調閱了甲、乙兩所學校各60名學生的成績，
∴由甲校樣本頻數分布條形圖知：
6+a+33+6=60，解得a=15，
由乙校樣本頻率分布條形圖得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．
（Ⅱ）由數據可得甲校的平均值為$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{90×6+80×15+60×33+50×6}{60}$=67，
乙校的平均值為$\overline{{x}_{乙}}$=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．
（Ⅲ）由樣本數據可知集訓的5人中甲校抽2人，分別記作E，F，乙校抽3人，分別記作M，N，Q，
從5人中任選2人，一共有10個基本事件，分別為：
EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，
其中2 人來自同一學校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，
∴兩人來自同一學校的概率p=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查頻率分布圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．