Question

【題目】（1）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，證明余弦定理：；

（2）長(zhǎng)江某地南北岸平行，如圖所示，江面寬度，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度，水流速度，設(shè)和的夾角為θ（），北岸的點(diǎn)在點(diǎn)A的正北方向.

①當(dāng)多大時(shí)，游船能到達(dá)處，需要航行多少時(shí)間？

②當(dāng)時(shí)，判斷游船航行到達(dá)北岸的位置在的左側(cè)還是右側(cè)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①時(shí)，需要航行；②左側(cè)，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用，兩邊平方即可證明；

（2）①游船能到處，則游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，得到，從而解出，再解出游船垂直江岸方向的速度，即可求得所需時(shí)間；②判斷游船水平方向上速度向左，即可判斷游船到達(dá)的左側(cè).

（1）利用向量法證明余弦定理：

在中，，

兩邊平方可得：，

即，

余弦定理得證；

（2）①若游船能到處，則游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，

則有，得，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

此時(shí)游船垂直江岸方向的速度，

時(shí)間，

即當(dāng)時(shí)，游船能到達(dá)處，需要航行；

②時(shí)，游船水平方向的速度大小為，

方向水平向左，故最終到達(dá)北岸時(shí)游船在點(diǎn)的左側(cè).