Question

已知b_n+1=b_n²+b_n，b₁=

1

3

，T_n=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，求T_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由題意得

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，T_n=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

=

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

=

1

b1

-

1

bn+1

當(dāng)n→∞時(shí)，T_n=

1

b1

=3．

解答： 解：∵b_n+1=b_n²+b_n，
∴

1

bn+1

=

1

b 2 n +bn

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴T_n=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

=

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

=

1

b1

-

1

bn+1

∵b_n+1=b_n²+b_n，b₁=

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n→∞時(shí)，

1

bn+1

→0
∴當(dāng)n→∞時(shí)，T_n=

1

b1

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列裂項(xiàng)相消法求和及極限值的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．