3.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的短軸長為2$\sqrt{5}$,離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.圓E的圓心在橢圓C上,半徑為2.直線y=k1x與直線y=k2x為圓E的兩條切線.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問:k1•k2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.

分析 (1)由橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,b=$\sqrt{5}$,離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則a2=20,b2=5,即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)E(x0,y0),圓E的方程為:(x-x02+(y-y02=4,由直線y=k1x與圓E:(x-x02+(y-y02=4相切,由點到直線的距離公式可知:$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2,(x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0,同理可得:(x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0,因此k1,k2為方程(x02-4)x2-2x0y0x+y02-4=0的兩個根,由韋達(dá)定理可知:k1•k2=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$,由E在橢圓上,則y02=5(1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$),代入即可求得k1•k2=-$\frac{1}{4}$.

解答 解:(1)由橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,短軸長為2$\sqrt{5}$,則2b=2$\sqrt{5}$,即b=$\sqrt{5}$,
∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$,解得:a2=20,b2=5,…(2分)
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$;…(4分)
(2)
設(shè)E(x0,y0),圓E的方程為:(x-x02+(y-y02=4,
由直線y=k1x與圓E:(x-x02+(y-y02=4相切,
∴$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2,…(6分)
整理得:(x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0,
同理可得:直線y=k2x與圓E:(x-x02+(y-y02=4相切,
∴(x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0,
∴k1,k2為方程(x02-4)x2-2x0y0x+y02-4=0的兩個根…(8分)
∴k1•k2=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$,
又∵E(x0,y0),在橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$上,
∴y02=5(1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$)…(10分)
∴k1•k2=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{5(1-\frac{{x}_{0}^{2}}{20})-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$,
故k1•k2是定值,為-$\frac{1}{4}$.…(12分)

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式及韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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