13.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{a}{x-4}$+10(x-7)2.其中3<x<7,a為常數(shù).已知銷售價格為6元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若該商品的成本為4元/千克,試確定銷售價格x(單位:元/千克)的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

分析 (Ⅰ)運(yùn)用代入法,將x=6,y=11,代入函數(shù)式,計(jì)算即可得到a的值;
(Ⅱ)由(1)可知,該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-4}$+10(x-7)2,求出商場每日銷售該商品所獲得的利潤,再求導(dǎo)數(shù),可得在(3,7)的單調(diào)區(qū)間,及極值,且為最值.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)閤=6時,y=11,所以$\frac{a}{2}$+10=11,a=2.…(2分)
(Ⅱ)由(1)可知,該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-4}$+10(x-7)2,
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f(x)=(x-4)[$\frac{2}{x-4}$+10(x-7)2]=2+10(x-4)(x-7)2,(3<x<7)…(6分)
從而,f′(x)=10[(x-7)2+2(x-4)(x-7)]=30(x-5)(x-7),
令f′(x)=0,得x=5或x=7(舍去).
因?yàn)楫?dāng)x∈(3,5)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(5,7)時,f′(x)<0,
所以f (x)在(3,7)取得唯一的極大值,也就是最大值.
所以,當(dāng)x=5時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答:當(dāng)銷售價格為5元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.…(13分)

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知函數(shù)f(x)=-$\frac{1}{3}$x3+x2+ax在x=3取得極值,則f(x)的極大值為( 。
A.6B.5C.9D.-$\frac{5}{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,四棱錐B-ACDE的底面ACDE滿足 DE∥AC,AC=2DE.
(Ⅰ)若DC⊥平面ABC,AB⊥BC,求證:平面ABE⊥平面BCD;
(Ⅱ)求證:在平面ABE內(nèi)不存在直線與DC平行;
某同學(xué)用分析法證明第(1)問,用反證法證明第 (2)問,證明過程如下,請你在橫線上填上合適的內(nèi)容.
(Ⅰ)證明:欲證平面ABE⊥平面BCD,
只需證AB⊥平面BCD,
由已知AB⊥BC,只需證AB⊥DC,
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立,
所以平面ABE⊥平面BCD.
(Ⅱ)證明:假設(shè)在平面ABE內(nèi)存在直線與DC平行,
又因?yàn)镈C?平面ABE,所以DC∥平面ABE.
又因?yàn)槠矫鍭CDE∩平面ABE=AE,
所以DC∥AE,
又因?yàn)镈E∥AC,所以ACDE是平行四邊形,
所以AC=DE,這與AC=2DE矛盾,
所以假設(shè)錯誤,原結(jié)論正確.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.如圖所示,是某人在用火柴拼圖時呈現(xiàn)的圖形,其中第1個圖象用了3根火柴,第2個圖象用了9根火柴,第3個圖形用了18根火柴,
…,則第20個圖形用的火柴根數(shù)為630.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.
(1)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+$\frac{2}{x}$在[1,3]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-$\frac{x}$+lnx,若f(x)在x=1,x=$\frac{1}{2}$處取得極值,
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)求f(x)在[$\frac{1}{4}$,2]上的單調(diào)區(qū)間
(Ⅲ)在[$\frac{1}{4}$,2]存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
(參考數(shù)據(jù):e2≈7.389,e3≈20.08)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.我市為了了解高中生作文成績與課外閱讀之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取了我市某高中50名學(xué)生,通過問卷調(diào)查得到了以下數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如表:
 作文成績優(yōu)秀  作文成績一般合計(jì) 
 閱讀量大 18 9 
 閱讀量少 815  
 合計(jì)   
(1)請完善表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù);
(2)試通過計(jì)算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為“課外閱讀大與作文成績優(yōu)秀”有關(guān)系?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知a∈R,函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx-3x,g(x)=-x2+8x,且x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).
(1)求a的值.
(2)如果函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(b,b+1)上均為增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的短軸長為2$\sqrt{5}$,離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.圓E的圓心在橢圓C上,半徑為2.直線y=k1x與直線y=k2x為圓E的兩條切線.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問:k1•k2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.

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