Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知b_n=log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意和a_n=S_n-S_n-1化簡已知的式子，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出公比和首項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡b_n，代入$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$化簡后，利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+2，
兩式相減得，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，則a_n+1=2a_n，
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$（n≥2），
∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=4，滿足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比、首項(xiàng)的等比數(shù)列，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力．