Question

已知關(guān)于x的方程：x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實(shí)數(shù)根b．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

(1);(2) 當(dāng)z=1﹣i時(shí),|z|有最小值且|z|_min=．

解析試題分析：(1)將實(shí)數(shù)根代入后，復(fù)數(shù)為0表示為實(shí)部為0，虛部為0，解出與;
(2)先把代入方程，同時(shí)設(shè)復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)方程，根據(jù)表達(dá)式的幾何意義，方程表示圓，
再數(shù)形結(jié)合，表示為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，求出，得到．
試題解析：解：（1）∵b是方程x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實(shí)根，
∴（b²﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，
得（x﹣3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y﹣1）²=8，
∴z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)₁（﹣1，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，
如圖，

當(dāng)z點(diǎn)在OO₁的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=半徑r=2，
∴當(dāng)z=1﹣i時(shí).|z|有最小值且|z|_min=．
考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的代數(shù)法及幾何意義；2.復(fù)數(shù)相等.