Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=

an-1

2an-1+1

（n≥2）．
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）猜測(cè)a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由已知條件分別令n=1，2，3，能求出a₂、a₃、a₄的值．
（2）由（1）猜想a_n=

2

1+4(n-1)

．然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=

an-1

2an-1+1

（n≥2），
∴a2=

2

2×2+1

=

2

5

，
a3=

2 5

2× 2 5 +1

=

2

9

，
a4=

2 9

2× 2 9 +1

=

2

13

．
（2）由（1）猜想a_n=

2

1+4(n-1)

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=

2

1+4(1-1)

=2，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=

2

1+4(k-1)

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=

ak

2ak+1

=

2 1+4(k-1)

2× 2 1+4(k-1) +1

=

2

1+4k

，也成立，
∴a_n=

2

1+4(n-1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前4項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．