Question

7．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由a₇=a₆+2a₅，可得${a}_{5}{q}^{2}={a}_{5}q+2{a}_{5}$，化簡(jiǎn)解得q=2．由存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，可得$\sqrt{{a}_{1}^{2}•{2}^{m-1}•{2}^{n-1}}$=4a₁，化為：m+n=6．又m，n∈N^*，即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₇=a₆+2a₅，∴${a}_{5}{q}^{2}={a}_{5}q+2{a}_{5}$，化為q²-q-2=0，q＞0，解得q=2．
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}•{2}^{m-1}•{2}^{n-1}}$=4a₁，化為：m+n=6．
則m=1，n=5；m=2，n=4；m=3，n=3；m=4，n=2；m=5，n=1．
則當(dāng)m=2，n=4時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．