Question

10．已知函數(shù)f（x）=a（3x-1）+（3a²+1）lnx，a∈R，
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=3x-1+4lnx，求導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{3ax+3{a}^{2}+1}{x}$，x＞0，分類討論，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=3x-1+4lnx，f′（x）=3+$\frac{4}{x}$，
∴f（1）=2，f′（1）=7，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-2=7（x-1），即7x-y-5=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{3ax+3{a}^{2}+1}{x}$，x＞0．
a＞0，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞增，
∵f（$\frac{1}{3}$）=（3a²+1）ln$\frac{1}{3}$＜0，f（1）=2a＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上有且只有1個(gè)零點(diǎn)；
a＜0，f′（x）＜0，∴x＜-$\frac{3{a}^{2}+1}{3a}$．
-$\frac{3{a}^{2}+1}{3a}$=-a+（-$\frac{1}{3a}$）≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞1，當(dāng)且僅當(dāng)a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞增，
∵f（1）=2a＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上無(wú)零點(diǎn)，
綜上所述，a≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)，屬于中檔題．