Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A（-\frac{1}{2}，0）$，$B（\frac{3}{2}，0）$，銳角α的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）當(dāng)$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{4}$時，求α的值；
（Ⅱ）在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{MP}|$恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （ I）P（cosα，sinα）求出向量，利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）法一：設(shè)M（m，0），通過$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|$，推出$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{m}{2}=0\\ 1-\frac{m^2}{4}=0\end{array}\right.$，即可求解M點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
法二：設(shè)M（m，0），通過$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|$，推出（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，利用恒成立求解即可．

解答 解：（ I）P（cosα，sinα）．…（2分）
$\overrightarrow{AP}=（cosα+\frac{1}{2}，sinα），\overrightarrow{BP}=（cosα-\frac{3}{2}，sinα）$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=（cosα+\frac{1}{2}）（cosα-\frac{3}{2}）+{sin^2}α$=cos²α-cosα$-\frac{3}{4}$+sin²α=$\frac{1}{4}$-cosα，
因為$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{4}-cosα=-\frac{1}{4}$，即$cosα=\frac{1}{2}$，
因為α為銳角，所以$α=\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）法一：
設(shè)M（m，0），
則$|\overrightarrow{AP}{|^2}={（cosα+\frac{1}{2}）^2}+{sin^2}α=1+cosα+\frac{1}{4}=cosα+\frac{5}{4}$，
$|\overrightarrow{MP}{|^2}={（cosα-m）^2}+{sin^2}α=1-2mcosα+{m^2}$，
因為$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|$，所以$cosα+\frac{5}{4}=\frac{1}{4}（1-2mcosα+{m^2}）$，…（12分）
所以$（1+\frac{m}{2}）cosα+（1-\frac{m^2}{4}）=0$對任意$α∈（0，\frac{π}{2}）$成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{m}{2}=0\\ 1-\frac{m^2}{4}=0\end{array}\right.$，所以m=-2．M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2．…（16分）
法二：設(shè)M（m，0），
則$|\overrightarrow{AP}{|^2}={（cosα+\frac{1}{2}）^2}+{sin^2}α=1+cosα+\frac{1}{4}=cosα+\frac{5}{4}$，$|\overrightarrow{MP}{|^2}={（cosα-m）^2}+{sin^2}α=1-2mcosα+{m^2}$，
因為$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|$，
所以$cosα+\frac{5}{4}=\frac{1}{4}（1-2mcosα+{m^2}）$，即m²-2mcosα-4cosα-4=0，（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，
因為α可以為任意的銳角，（m-2）-2cosα=0不能總成立，
所以m+2=0，即m=-2，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2．…（16分）

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量在幾何中的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查計算能力．