【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調,求a的取值范圍
(3)若x∈[t,t+2],試求y=f(x)的最小值.
【答案】
(1)解:由已知,f(0)=f(2)=3,可得對稱軸為x=1,
則函數(shù)的定點坐標為(1,1),
設f(x)=a(x﹣1)2+1,a>0,由f(0)=3,得a=2,
故f(x)=2x2﹣4x+3
(2)解:因為函數(shù)的對稱軸為1,f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調
對稱軸在區(qū)間[2a,a+1]內,即2a<1<a+1,
解得0<a<
(3)解:當t≥1時,函數(shù)f(x)在[t,t+2]上單調遞增,f(x)min=f(t)=2t2﹣4t+3.
當t<1<t+2時,即﹣1<t<1時,f(x)min=1,
當t+2≤1時,即t≤﹣1時,函數(shù)f(x)在[t,t+2]上單調遞減,f(x)min=f(t+2)=2t2+4t+5,
綜上所述y=f(x)min=g(t)=
【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)可得對稱軸為x=1,可設f(x)=a(x﹣1)2+1,由f(0)=3,求出a的值即可;(2)f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調,則2a<1<a+1,解得即可;(3)通過討論t的范圍,得到函數(shù)的單調性,從而求出函數(shù)的最小值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù),并說明理由;
(2)若, 恒成立,求的最大整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣kx﹣4在區(qū)間[﹣2,4]上具有單調性,則k的取值范圍是( )
A.[﹣8,16]
B.(﹣∞,﹣8]∪[16,+∞)
C.(﹣∞,﹣8)∪(16,+∞)
D.[16,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若, , 是互不重合的直線, , , 是互不重合的平面,給出下列命題:
①若, , ,則或;
②若, , ,則;
③若不垂直于,則不可能垂直于內的無數(shù)條直線;
④若, , , ,則且;
⑤若, , 且, , ,則, , .
其中正確的命題是__________.(填序號)
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【題目】下列每組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x0與f(x)=1
B.f(x)= ﹣1與f(x)=|x|﹣1
C.f(x)= 與f(x)=x﹣2
D.f(x)= 與f(x)=
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【題目】(本小題滿分14分)已知遞增等差數(shù)列中的是函數(shù)的兩個零點.數(shù)列滿足,點在直線上,其中是數(shù)列的前項和.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)令,求數(shù)列的前n項和.
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【題目】《中國詩詞大會》是中央電視臺最近新推出的一檔有重大影響力的大型電視文化節(jié)目,今年兩會期間,教育部部長陳寶生答記者問時給予其高度評價。基于這樣的背景,山東某中學積極響應,也舉行了一次詩詞競賽。組委會在競賽后,從中抽取了100名選手的成績(百分制),作為樣本進行統(tǒng)計,作出了圖中的頻率分布直方圖,分析后將得分不低于60分的學生稱為“詩詞達人”,低于60分的學生稱為“詩詞待加強者”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“詩詞達人”與性別有關?
詩詞待加強者 | 詩詞達人 | 合計 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合計 |
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校大量參與活動的學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“詩詞達人”的人數(shù)為,若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列、數(shù)學期望和方差.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租時間不超過兩小時免費,超過兩個小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人獨立來該租車點騎游(各組一車一次).設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為, ;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為, ;兩人租車時間都不會超過四小時.
(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;
(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量,求的分布列.
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