Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+1，a∈R；
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為-2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求解得出對稱軸x=a，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出a≤-1或a≥2，即可判斷在在區(qū)間（-1，2）上是單調(diào)函數(shù)；
（2）不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，則△=4a²-4＜0，解得即可；
（3）分析函數(shù)f（x）=x²-2ax+1的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）的最小值為-2，分類討論，滿足條件的a值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+1的對稱軸為x=a，
∵f（x）在區(qū)間（-1，2）上是單調(diào)函數(shù)，
∴a≤-1或a≥2，
故a的取值范圍為（-∞，-1]∪[2，+∞），
（2）∵不等式f（x）＞0對任x∈R上恒成立，
∴△=4a²-4＜0，
解得-1＜a＜1，
故a的取值范圍為（-1，1），
（3）：二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+1的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取最小值2-2a=-2，解得a=2，舍去，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)取最小值-a²+1=-2，解得：a=$\sqrt{3}$，或a=-$\sqrt{3}$（舍去），
綜上所述，a=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題給出含有參數(shù)的二次函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．