Question

3．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數，且a≠0，a≠1）；
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（3）若數列{b_n}是（2）中的等比數列，數列c_n=（n-1）b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求得通項公式；
（2）簡化數列{b_n}，再由等比數列的通項公式的結構特征，得出$\frac{2a}{a-1}+1$=0，解得參數a；
（3）由（2）求出數列{c_n}的通項，根據通項結構特征，采用錯位相減法求數列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）當n=1時，${S}_{1}=\frac{a}{a-1}{（a}_{1}-1）$，
∴a₁=a，${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
當n≥2時，S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）且${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
兩式做差化簡得：a_n=a•a_n-1
即：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=a$，
∴數列{a_n}是以a為首項，a為公比的等比數列，
∴${a}_{n}={a}^{n}（a為常數，且a≠0，a≠1）$．
（2）b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1=$（\frac{2a}{a-1}+1）-\frac{2a}{（a-1）{a}^{n}}$，
若數列{b_n}為等比數列，
則$\frac{2a}{a-1}+1$=0，即$a=\frac{1}{3}$．
（3）由（2）知${b_n}={3^n}$，
∴${c}_{n}=（n-1）•{3}^{n}$
∴T_n=0×3+1×3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ    …①
  3T_n=0×3²+1×3³+2×3⁴+…+（n-2）×3ⁿ+（n-1）×3ⁿ⁺¹  …②
①-②得：-2T_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-（n-1）×3ⁿ⁺¹
=$（\frac{3-2n}{2}）×{3}^{n+1}-\frac{9}{2}$
∴${T_n}={3^{n+1}}•\frac{2n-3}{4}+\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查求數列通項公式，已知等比數列求參數，求數列前n項和，利用錯位相減求前前n項和是關鍵．