Question

20．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式中各項系數(shù)的和比（3x-1）ⁿ的展開式中二項式系數(shù)的和大992，求（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中：
（1）第10項
（2）常數(shù)項；
（3）系數(shù)的絕對值最大的項．

Answer 1

分析 利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，求得第10項、常數(shù)項、以及系數(shù)的絕對值最大的項．

解答 解　由題意得2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5，
∵（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式的通項公式為 ${T_{r+1}}=C_{10}^r{（2x）^{10-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}=C_{10}^r{2^{10-r}}{（-1）^r}{x^{10-2r}}$，
（1 ）令r=9，可得它的展開式中第10項，即T₁₀=-20x^-8 ．
（2）令10-2r=0，求得r=5，可得常數(shù)項為第6項，
T₆=-${C}_{10}^{5}$•2⁵=-8 064．
（3）設第r+1項的系數(shù)的絕對值最大，即T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r 最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{9-r}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{11-r≥2r}\\{2（r+1）≥10-r}\end{array}\right.$，
∴$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項，
T₄=（-1）³•${C}_{10}^{3}$•2⁷•x⁴=-15 360x⁴．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．