Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=2，AC⊥BC，D是線段AB上一點．
（1）確定D的位置，使得平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）若AC₁∥平面B₁CD，設(shè)二面角D-CB₁-B的大小為θ，求證θ＜$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)CD⊥AB時，利用射影定理求得$AD=\frac{9}{5}$．再由線面垂直的判定及面面垂直的判定可得平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ．從而得到當(dāng)AD=$\frac{9}{5}$時，平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ；
（2）以CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，再由平面CBB₁的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$，求出兩法向量所成角的余弦值cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$＞$\frac{1}{2}$，可得二面角D-CB₁-B的大小θ＜$\frac{π}{3}$．

解答 （1）解：當(dāng)CD⊥AB時，
∵AC⊥BC，AC=3，BC=4，∴AB=5，
∴由射影定理得AC²=AD×AB，解得$AD=\frac{9}{5}$．
∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥CD．
∵AB∩BB₁=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁．
又CD?平面B₁CD，∴平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ．
∴當(dāng)AD=$\frac{9}{5}$時，平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ；
（2）證明：以CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（3，0，0），B₁（0，4，2），B（0，4，0）．
連接BC₁交B₁C于點O，則O為BC₁的中點．
∵平面ABC₁∩平面B₁CD=OD，且AC₁∥平面B₁CD，∴OD∥AC₁．
∴D為AB的中點．
∴$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，2，0）$，$\overline{C{B}_{1}}=（0，4，2）$．
設(shè)平面CDB₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=4，可得平面B₁CD的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（4，-3，6）$，
而平面CBB₁的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
∵二面角D-CB₁-B為銳角，
∴$cosθ=\frac{4\sqrt{61}}{61}$．
又$\frac{4\sqrt{61}}{61}=\frac{4}{\sqrt{61}}＞\frac{4}{\sqrt{64}}=\frac{1}{2}$．
∴θ＜$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．