Question

18．已知點P在曲線C上，P到F（1，0）的距離比它到直線l：x+2=0的距離小1，直線y=x-2與曲線C交于A，B兩點．
（1）求弦AB的長度；
（2）若點P在第一象限，且△ABP面積為$2\sqrt{3}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）說明P到F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，利用拋物線的定義求出標準方程為y²=4x，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x-2\end{array}\right.$，由韋達定理，利用弦長公式求解弦AB的長度．
（2）設點$P（{\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}}）$，設點P到AB的距離為d，通過三角形的面積求出y₀，推出結果即可．

解答 解：（1）依題意P到F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離…（1分）
根據(jù)拋物線的定義可知曲線C為以F（1，0）為焦點的拋物線，
其標準方程為y²=4x…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x-2\end{array}\right.$解得x²-8x+4=0且△＞0…（4分）
由韋達定理有x₁+x₂=8，x₁x₂=4…（5分）
所以$AB=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{1^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=4\sqrt{6}$
所以弦AB的長度為$4\sqrt{6}$…（7分）
（2）設點$P（{\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}}）$，設點P到AB的距離為d，則$d=\frac{{|{\frac{{{y_0}^2}}{4}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}$…（8分）
所以${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}•4\sqrt{6}•\frac{{|{\frac{{{y_0}^2}}{4}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{3}$，即$\frac{{|{\frac{{{y_0}^2}}{4}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$…（9分）
所以$\frac{{{y_0}^2}}{4}-{y_0}-2=±1$，得$\frac{{{y_0}^2}}{4}-{y_0}-2=±1$…（10分）
又因為P在第一象限，解得y₀=6或${y_0}=2+2\sqrt{2}$…（11分）
所以P點為（9，6）或$（{3+2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}}）$…（12分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應用，直線與拋物線位置關系的應用，考查計算能力．