Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大小；
（2）若存在實(shí)數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，使得不等式f（x-c²）＞0成立，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)單調(diào)性的定義判斷f（x）在R上的單調(diào)性：設(shè)x₁＜x₂，根據(jù)已知條件便可得到

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，從而得到f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，所以若a＞b，便有f（a）＞f（b）；
（2）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，所以原不等式等價(jià)于f（x-c²）＞f（0），根據(jù)f（x）的單調(diào)性便得x-c²＞0，所以c²＜x，因?yàn)閤∈[

1

2

，

3

2

]，所以c2＜

3

2

，解該不等式即得c的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則根據(jù)已知條件有：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0；
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
∵a＞b，∴f（a）＞f（b）；
（2）f（0）=0，f（x）在R上是增函數(shù)；
∴由f（x-c²）＞0得f（x-c²）＞f（0）；
∴x-c²＞0，即c²＜x；
∴c2＜

3

2

，-

6

2

＜c＜

6

2

；
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-

6

2

，

6

2

)．

點(diǎn)評：考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性，f（x）在R上是奇函數(shù)時(shí)f（0）=0．