Question

7．曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數）在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ．
（1）求曲線C₁的極坐標方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（2）過原點且傾斜角為α（$\frac{π}{6}$＜α≤$\frac{π}{4}$）的射線l與曲線C₁，C₂分別相交于A，B兩點（A，B異于原點），求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將C₁的參數方程化為普通方程，再化為極坐標方程，將C₂的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標與直角坐標的對應關系得出C₂的直角坐標方程；
（2）求出l的參數方程，分別代入C₁，C₂的普通方程，根據參數的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|關于k的函數，根據k的范圍得出答案．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²=4x，極坐標方程為ρ=4cosθ；曲線C₁的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ，普通方程為：y=x²；
（2）射線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，$\frac{π}{6}$＜α≤$\frac{π}{4}$）．
把射線l的參數方程代入曲線C₁的普通方程得：t²-4tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=4cosα．
∴|OA|=|t₂|=4cosα．
把射線l的參數方程代入曲線C₂的普通方程得：cos²αt²=tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=4cosα•$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=4tanα=4k．
∵k∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，∴4k∈（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4]．
∴|OA|•|OB|的取值范圍是（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4]．

點評 本題考查參數方程與極坐標與普通方程的互化，考查參數的幾何意義的應用，屬于中檔題．