【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,,,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),,平面ABCD,且
(1)求證:;
(2)線段PC上是否存在一點(diǎn)F,使二面角的余弦值是?若存在,請找出點(diǎn)F的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見證明;(2)見解析
【解析】
(1)由題意,證得,再由線面垂直的性質(zhì),證得,利用線面垂直的判定定理,即可證得平面PEC,進(jìn)而得到.
(2)由(1)建立以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HB、HC、HP所在直線分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系,由與共線,得,再求得平面CPD和平面CPD的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式即可求解.
證明:(1)∵,,
∴,,
E為AD的中點(diǎn),,
≌,,
,
,
,平面ABCD,平面ABCD,,
又,且PH,平面PEC,平面PEC,
又平面PEC,.
解:(2)由(1)可知∽,
由題意得,,
,,,,,
、EC、BD兩兩垂直,建立以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HB、HC、HP所在直線分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系,
,,,,,
假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)F滿足題意,
與共線,
∴存在唯一實(shí)數(shù),,滿足,解得,
設(shè)向量為平面CPD的一個(gè)法向量,
且,,
∴,取,得,
同理得平面CPD的一個(gè)法向量,
∵二面角的余弦值是,
∴,
由,解得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是奇函數(shù),是偶函數(shù),且其中.
(1)求和的表達(dá)式,并求函數(shù)的值域
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)不等實(shí)根,求常數(shù)的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率.
(1)求的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】總體由編號(hào)為01,02,03,,49,50的50個(gè)個(gè)體組成,利用隨機(jī)數(shù)表(以下選取了隨機(jī)數(shù)表中的第1行和第2行)選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始由左向右讀取,則選出來的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)組織了一次高二文科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試,學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若所得分?jǐn)?shù)大于等于80分認(rèn)定為優(yōu)秀,求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線與E交于A、B兩點(diǎn),且,其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)已知橢圓()的半焦距為,原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點(diǎn),求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一座圓拱橋,當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí),拱頂離水面2米,水面寬12米,當(dāng)水面下降1米后,水面寬多少米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和相等且為同一常數(shù),這樣的數(shù)列叫“等和數(shù)列”,這個(gè)常數(shù)叫公和.給出下列命題:
①“等和數(shù)列”一定是常數(shù)數(shù)列;
②如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”,則這個(gè)數(shù)列一定是常數(shù)列;
③如果一個(gè)數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”,則這個(gè)數(shù)列一定是常數(shù)列;
④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和,則其前項(xiàng)之和;
其中,正確的命題為__________.(請?zhí)畛鏊姓_命題的序號(hào))
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