Question

7．如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面α，C為圓周上不同于A、B的任意一點，M，N，Q分別是PA，PC，PB的中點．
（1）求證：平面MNQ∥平面α；
（2）若PA=AB=2，AC=CB求三棱錐A-CPB的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出MN∥平面α，NQ∥平面α．由此能證明平面MNQ∥平面α．
（2）三棱錐A-CPB的體積：V_A-CPB=V_P-ABC，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面α，
C為圓周上不同于A、B的任意一點，M，N，Q分別是PA，PC，PB的中點，
∴MN∥AC，
∵MN?平面α，AC?平面α，∴MN∥平面α，
同理可證NQ∥平面α．
∵MN?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，
∴平面MNQ∥平面α．
（2）∵PA=AB=2，AC=CB，∴AC=CB=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
∴三棱錐A-CPB的體積：V_A-CPB=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{ABC}×PA$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．