Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{π}{12}$，0），且圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角函數(shù)圖象特點(diǎn)可得周期，可得ω=2，代點(diǎn)計(jì)算可得φ=-$\frac{π}{6}$，可得解析式為f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，解出即可；
（3）由題意可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，代入cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）計(jì)算可得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{π}{12}$，0），
∴$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{12}$ω+φ）=0，又圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴周期T滿足T=$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=2，∴$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，
結(jié)合-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{6}$，故f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
故函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]；
（3）∵f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
又$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，∴0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，故cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)解析式的求解和三角函數(shù)公式，屬中檔題．