Question

13．已知△ABC中，頂點A（7，-3），AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，AB邊上的中線CM所在的直線方程為6x-y-21=0．
（Ⅰ）求直線AC和直線BC的方程；
（Ⅱ）若點P滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AC邊上的高BH所在直線方程求出斜率，得到AC所在直線斜率，利用直線方程點斜式求得AC所在直線方程，設(shè)出B得坐標(biāo)，求出AB中點M的坐標(biāo)，代入CM方程，可得B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程求得C的坐標(biāo)，再由兩點式求得BC所在直線方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出|AC|，|AB|，再由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|可知P為△ABC的外心，展開數(shù)量積，結(jié)合向量在向量方向上投影的概念求解．

解答 解：（Ⅰ）如圖，
∵AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，∴k_AC=-2，
又A（7，-3），∴AC所在直線方程為y+3=-2（x-7），
即2x+y-11=0．
設(shè)點B（2m+5，m），由點A（7，-3），可得AB的中點M（m+6，$\frac{m-3}{2}$），
再把點M（m+6，$\frac{m-3}{2}$）代入CM所在的直線方程6x-y-21=0，可得m=-3，
即B（-1，-3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{6x-y-21=0}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
用兩點式求得BC的方程為$\frac{y+3}{6}=\frac{x+1}{5}$，即6x-5y-9=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得|AC|=$\sqrt{（7-4）^{2}+（-3-3）^{2}}=3\sqrt{5}$，|AB|=$\sqrt{（7+1）^{2}+（-3+3）^{2}}=8$．
又點P滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，∴P為△ABC的外心．
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$
=$|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|•cos∠CAP-|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|•cos∠BAP$
=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{1}{2}×45-\frac{1}{2}×64$=$-\frac{19}{2}$．

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求直線方程，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中檔題．