Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中點(diǎn)，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（Ⅱ）求直線(xiàn)BG和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，C1N， ∵M(jìn)，N分別為AB，CB中點(diǎn)
∴MN∥AC∥A1C1 ，
∴A1 ， M，N，C1四點(diǎn)共面，
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又DE∩平面BCC1B1 ，
且DE∥平面A1MC1 ， ∴DE∥C1N，
∵D為CC1的中點(diǎn)，∴E是CN的中點(diǎn)，
∴ = ．
（Ⅱ）連結(jié)B1M，
因?yàn)槿�棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1 ，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴B1M⊥A1M，
又A1C1⊥平面ABB1A1 ，
∴A1C1⊥B1M，從而B(niǎo)1M⊥平面A1MC1
∴MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影，
∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角
設(shè)AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1= ，則MC1=2，B1C1= ，
∴cos∠B1C1M= ，∴直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四點(diǎn)共面，由已知條件推導(dǎo)出DE∥C1N，從而求出 ．（Ⅱ）連結(jié)B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線(xiàn)BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行，以及對(duì)空間角的異面直線(xiàn)所成的角的理解，了解已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．