Question

10．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵的常數(shù)項為15，則函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）-$\frac{a}{x+1}$在區(qū)間[-$\frac{2}{3}$，2]上的值域為[0，10]．

Answer 1

分析 利用二項式定理的通項公式求出a，在結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解在區(qū)間[-$\frac{2}{3}$，2]上函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：由題意（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵的常數(shù)項為15，即${C}_{5}^{r}（-\frac{a}{{x}^{2}}）^{r}（{x}^{\frac{1}{2}}）^{5-r}$中$-2r+\frac{1}{2}（5-r）=0$，解得：r=1，
則${C}_{5}^{1}（-a）^{1}=15$，可得a=-3．
那么可得函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）+$\frac{3}{x+1}$，
∵在區(qū)間[-$\frac{2}{3}$，2]上y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）和y=$\frac{3}{x+1}$都是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{2}{3}$，2]上是減函數(shù)
當x=$-\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為10．
當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值為0．
∴函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）+$\frac{3}{x+1}$在區(qū)間[-$\frac{2}{3}$，2]上的值域為[0，10]
故答案為：[0，10]

點評 本題考查二項式定理的通項公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及運用求解值域的問題，屬于中檔題．