Question

求函數(shù)f（x）=x²+2ax+1在區(qū)間[-1，1]的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)不定對稱軸和定區(qū)間的關(guān)系分五種情況進(jìn)行討論得到具體的結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²
則：函數(shù)為開口方向向上，對稱軸為x=-a的拋物線
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2，
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2+2a，
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
綜上所述：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2+2a
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
故答案為：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2，
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）_max=f（1）=2+2a，
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=2-2a．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式與一般式的互化，二次函數(shù)對稱不固定區(qū)間固定的討論及相關(guān)的運(yùn)算問題．