Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足sin²B+sin²C=sin²A+2sinBsinCsin（B+C）．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理可得 b²+c²=a²+2bcsinA，再由余弦定理可得cosA=sinA，即可求出A，
（Ⅱ）根據(jù)基本不等式求出bc≤4+2$\sqrt{2}$，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可

解答 解：（Ⅰ）sin²B+sin²C=sin²A+2sinBsinCsin（B+C），
由正弦定理可得 b²+c²=a²+2bcsinA，
由余弦定理可得 b²+c²-a²=2bcsinA，
∴cosA=sinA，
∴tanA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{4}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²+c²=4+$\sqrt{2}$bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴4+$\sqrt{2}$bc≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
即bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=4+2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc≤$\sqrt{2}$+1，
∴△ABC面積的最大值$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．