【題目】已知拋物線的焦點為,為軸上的點.
(1)當(dāng)時,過點作直線與相切,求切線的方程;
(2)存在過點且傾斜角互補的兩條直線,,若,與分別交于,和,四點,且與的面積相等,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 切線的方程為或;(2) 的取值范圍為或或.
【解析】分析:(1)設(shè)切點為,再求切線的斜率和切點,最后寫出直線的點斜式方程化簡即得解. (2)先求出的面積為,的面積為.再令它們想到得到找到a的范圍.
詳解:(1)設(shè)切點為,則
∴點處的切線方程為.
∵過點,∴,解得或.
當(dāng)時,切線的方程為或.
(2)設(shè)直線的方程為,代入得
, ①
,得, ②
由題意得,直線的方程為,
同理可得,即, ③
②×③得,∴. ④
設(shè),,則,.
∴.點到的距離為,
∴的面積為.
同理的面積為.
由已知得,
化簡得, ⑤
欲使⑤有解:則,∴
又,得,∴.
綜上,的取值范圍為或或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機的情況,分別在高一和高二兩個年級各隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機時間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,將使用手機時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機迷”.
高一學(xué)生日均使用手機時間的頻數(shù)分布表
時間分組 | 頻數(shù) |
[0,20) | 12 |
[20,40) | 20 |
[40,60) | 24 |
[60,80) | 18 |
[80,100) | 22 |
[100,120] | 4 |
(1)將頻率視為概率,估計哪個年級的學(xué)生是“手機迷”的概率大?請說明理由.
(2)在高二的抽查中,已知隨機抽到的女生共有55名,其中10名為“手機迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機迷”與性別有關(guān)?
非手機迷 | 手機迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
附:隨機變量(其中為樣本總量).
參考數(shù)據(jù) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)若與曲線相切,且與坐標(biāo)軸交于兩點,求以為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)用籬笆圍一個面積為的矩形菜園,當(dāng)這個矩形的邊長為多少時,所用籬笆最短?最短籬笆的長度是多少?
(2)用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園,當(dāng)這個矩形的邊長為多少時,菜園的面積最大?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是滿足下列條件的集合:①,;②若,則;③若且,則.
(1)判斷是否正確,說明理由;
(2)證明:“”是“”的充分條件;
(3)證明:若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中是過拋物線的兩條互相垂直的弦(點在第二象限),且交于點,點為軸上一點,,其中為銳角
(1)設(shè)線段的長為,將表示為關(guān)于的函數(shù)
(2)求“蝴蝶形圖案”面積的最小值,并指出取最小值時的大小
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