Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小
（2）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在單位圓上，且b²+c²=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出角A的值；
（2）由正弦定理求出a的值，再根據(jù)題意求出bc的值，從而求出三角形的面積．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵△ABC中，b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，…（2分）
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$；…（4分）
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$； …（6分）
（2）∵$\frac{a}{sinA}$=2R，R為△ABC外接圓的半徑，
∴a=2RsinA=2×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；…（8分）
又∵b²+c²=a²+bc且b²+c²=4，
∴4=（$\sqrt{3}$）²+bc，
解得bc=1；     …（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．