8.若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2且anbn+bn=nbn+1
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,則Tn<4.

分析 (1)b1=1,b2=2且anbn+bn=nbn+1.n=1時,a1+1=2,解得a1.利用等差數(shù)列的通項公式可得an.利用等比數(shù)列的通項公式可得bn
(2)cn=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)∵b1=1,b2=2且anbn+bn=nbn+1.∴n=1時,a1+1=2,解得a1=1.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∴2nbn=nbn+1,即2bn=bn+1,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,公比為2.
∴bn=2n-1
(2)cn=$\frac{{a}_{n}+1}{_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
數(shù)列{cn}的前n項和為Tn=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴$\frac{1}{2}$Tn=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴Tn=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$<4.

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力 與計算能力,屬于中檔題.

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